3.2. Классификация и приведение к каноническому виду
ДУ с ЧП второго порядка с двумя независимыми переменными
Теоретический минимум
Уравнение
, 2 , , , , , , ,
xx xy yy x y
a x y u b x y u c x y u F x y u u u
(3.3)
где
,,a x y
,,b x y
,c x y
– дважды дифференцируемые функции, не
обращающиеся одновременно в нуль, принадлежат:
1) гиперболическому типу, если
2
0b ac
;
2) параболическому типу, если
2
0b ac
;
3) эллиптическому типу, если
2
0b ac
.
Если выражение
2
b ac
в данной области меняет знак, то уравнение
(3.3) называется уравнением смешанного типа.
Для каждого типа ДУ (3.3) найдется невырожденное преобразование
,,xy
при котором уравнение преобразуется к
каноническому виду этого типа.
Для того чтобы привести уравнение (3.3) к каноническому виду,
составляем уравнение (называемое уравнением характеристик уравнения
(3.3))
22
2 0,a dy bdx dy c dx
(3.4)
которое распадается на два обыкновенных дифференциальных уравнения
2
0,ady b b ac dx
2
0ady b b ac dx
(3.5)
и находим их общие интегралы.
Уравнения гиперболического типа:
2
0.b ac
Общие интегралы
1
,,x y C
2
,x y C
уравнений (3.5) будут
вещественными и различными, они определяют два различных семейства
вещественных характеристик.
Вводя вместо
,xy
новые независимые переменные
,
, , , ,x y x y
приведем уравнение (3.3) к каноническому виду
2
2
, , , ,
u u u
Fu


 

или
22
1
22
, , , ,
u u u u
Fu




.
Уравнения параболического типа:
2
0.b ac
Уравнения (3.5) совпадают, и мы получаем один общий интеграл
уравнения (3.4):
В этом случае, полагая
,xy
x


(в случае, когда
0
y

)
или
,xy
y


(в случае, когда
0
x

),
приведем уравнение (3.3) к каноническому виду
2
3
2
, , , ,
u u u
Fu





или
2
4
2
, , , ,
u u u
Fu





.
Уравнения эллиптического типа:
2
0.b ac
Общие интегралы уравнений (3.5) – комплексно сопряженные, они
определяют два семейства мнимых характеристик.
Пусть далее общий интеграл первого из уравнений (3.5) имеет вид
, , ,x y i x y C
где
,xy
и
,xy
– вещественные функции.
Тогда, полагая
, , , ,x y x y
приведем уравнение (3.3) к каноническому виду
22
5
22
, , , , .
u u u u
Fu





В случае эллиптического уравнения считаем, что коэффициенты
,a
b
и
c
– суть аналитические функции.
Рассмотренный метод приведения уравнения (3.3) к каноническому
виду и решение полученного уравнения этим методом носит название
метода характеристик.
Различие в типах уравнений второго порядка определяется различием
физических процессов, описываемых этими уравнениями. Уравнения,
соответствующие стационарным процессам, являются уравнениями
эллиптического типа; уравнение нестационарной теплопроводности
является уравнением параболического типа; волновое уравнение относится
к гиперболического типу.
Практический минимум
2А1. Определить тип уравнения
2 2 2
22
2 1 0
u u u
yx
xy
xy


в точках
1; 2M
и
1; 0 .N
Найти параболическую линию уравнения.
Здесь
1,a
,by
1,cx
22
1.b ac y x
В точке
1; 2M
2
4 1 1 2 0b ac
– уравнение
гиперболического типа.
В точке
1; 0N
2
0 1 1 2 0b ac
– уравнение эллиптического
типа.
Параболическая линия уравнения
2
0,b ac
т. е.
2
10yx
или
2
1yx
.
2А+Б2. Привести к каноническому виду уравнение
2 2 2
22
3 10 3 5 0.
u u u u
u
x y x
xy

Здесь
3,a
5,b 
3,c
2
25 9 16 0,b ac
и поэтому это
уравнение гиперболического типа во всех точках плоскости. Составляя
уравнение характеристик
22
3 10 3 0dy dxdy dx
и решая его:
22
1,2
5 5 9
3
dx dx dx
dy
, получим два дифференциальных
уравнения
1
3
dy dx
и
3,dy dx
, интегрируя которые, найдем
1
1
,
3
y x C
2
3.y x C
Уравнения двух семейств характеристик
1
2
1
3
3.
y x C
y x C


С помощью характеристик делаем замену переменных
1
,
3
3,
yx
yx
якобиан перехода
1
1
,
12
3 2 0.
3
, 3 3
31
D
D x y

Выразим частные производные по старым переменным через частные
производные по новым переменным:
1
3
3
u u u u u
x x x
  
,
2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
1
3
3
1 1 1 1
3 3 3 2 9 ,
3 3 3 9
u u u u u
x x x x
x
u u u u u u u
  
 

  
   
u u u u u
y y y
 
 
,
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2,
u u u u u u u u
y y y y
y
 
  
 
2 2 2 2 2
22
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
1
3
3
1 1 10
3 3 .
3 3 3
u u u u u
x y y y y y
u u u u u u u

 
 
  
   
Подставим в рассматриваемое ДУ с ЧП найденные для вторых
производных выражения. Тогда получим
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
1 1 10
3 2 9 10 3
9 3 3
u u u u u u
 

2 2 2
22
1
3 2 3 5 0,
3
u u u u u
u


  

2
64 1
3 5 0,
33
u u u
u

2
1 9 15
,
64 64 64
u u u
u
 
т. е. уравнение приведено к каноническому виду.
2А+Б3. Привести к каноническому виду следующее уравнение:
2 2 2
22
4 4 6 0.
u u u u u
x y x y
xy

Здесь
4,a
2,b
1,c
2
4 4 0.b ac
Следовательно, это
уравнение параболического типа во всех точках плоскости. Составим
уравнение характеристик:
22
4 4 0,dy dxdy dx
решим его:
2
dx
dy
.
Интегрируя, получим
1
.
2
y x C
Найденная функция имеет непрерывные
частные производные, и ее первые производные не обращаются
одновременно в нуль. Используя замену переменных по формулам
1
,
2
,
xy
x

выразим частные производные по старым переменным через частные
производные по новым переменным:
1
2
u u u u u
x x x
   
;
2 2 2 2 2
2 2 2
1
2
u u u u u
x x x x
x
  


2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
1 1 1 1
,
2 2 2 4
u u u u u u u
  
,
u u u u
y y y

 
2 2 2 2
2 2 2
u u u u
yy
y
 


,
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
11
.
22
u u u u u u u
x y y y y y
  
  

Подставим в рассматриваемое ДУ найденные для вторых производных
выражения
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
1 1 1
4 4 6 0
4 2 2
u u u u u u u u u
   

или
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
1
4 4 2 4 6 0,
2
u u u u u u u u u
   
откуда
2
2
11
4 0,
2
u u u


или
2
2
11 1
,
84
u u u

т. е. уравнение приведено к каноническому виду.
2А+Б4. Привести к каноническому виду уравнение
2 2 2
22
5 4 0.
u u u u u
x y x y
xy

Здесь
5,a
2,b
1,c
2
4 5 1.b ac
Следовательно,
это уравнение эллиптического типа во всех точках плоскости. Составим
уравнение характеристик:
22
5 4 0dy dxdy dx
и решим его:
21
.
55
dy dx i dx
. Интегрируя
21
,
55
dy dx i dx
получим
21
.
55
x y i x C
Выполним замену переменных по формулам
2
,
5
1
.
5
xy
x

Выразим частные производные по старым переменным через частные
производные по новым переменным:
21
,
55
u u u u u
x x x
   
2 2 2 2 2
2 2 2
21
55
u u u u u
x x x x
x
   

2 2 2 2
22
2 2 1 1 2 1
5 5 5 5 5 5
u u u u
 
2 2 2
22
4 4 1
,
25 25 25
u u u


,
u u u u
y y y
 
 
2 2 2 2
2 2 2
,
u u u u
yy
y
 


2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 1 2 1
.
5 5 5 5
u u u u u u u
x y y y y y
   
 

Подставим в рассматриваемое ДУ с ЧП найденные для вторых
производных выражения. Тогда получим
2 2 2 2 2
2 2 2
2
2
4 4 1 2 1
54
25 25 25 5 5
21
0.
55
u u u u u
u u u
 
  
 

Преобразуем
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
4 4 1 8 4 2 1
0,
5 5 5 5 5 5 5
u u u u u u u u u
    

22
22
1 1 7 1
0
5 5 5 5
u u u u

или
22
22
7
u u u u
,
т. е. уравнение приведено к каноническому виду.
Задания для самостоятельной работы
2А5. Найти области гиперболичности, эллиптичности и
параболичности уравнения
2 2 2
22
2 2 0.
u u u
x y x
xy
xy


Построить линию параболичности.
2А6. Найти области гиперболичности, эллиптичности и
параболичности уравнения
2 2 2
22
22
1 2 0.
u u u u u
x xy y x y
x y x y
xy

Построить линию параболичности.
2А+Б7. Привести к каноническому виду следующие уравнения:
а)
2 2 2
22
4 3 2 0.
u u u u u
x y x y
xy

Ответ:
2
3,
11
0.
,
44
yx
u u u
yx
 
б)
2 2 2
2
22
2 0.
u u u
yy
xy
xy


Ответ:
2
2
2
1
,
0
2
2
,
y
uu
x
x





.
в)
22
2
2 0.
uu
x
xy
x



Ответ:
2
2
1
, 0.
2
yx
uu
y


 

г)
2 2 2
2
22
2 0.
u u u u u
a a a
x y x y
xy

Ответ:
2
2
,
0.
,
ax y
uu
x





д)
2 2 2
22
2 2 0.
u u u
xy
xy


Ответ:
22
22
,
0.
,
xy
uu
x




е)
2 2 2
22
4 5 2 0.
u u u u u
x y x y
xy

Ответ:
22
22
2,
0.
,
xy
u u u
x


